Արթուր Ալեքսանյանը ծնվել է 1991 թվականի հոկտեմբերի 21-ին Լենինականում (այժմ՝ Գյումրի)։ Հունահռոմեական ըմբշամարտով սկսել է զբաղվել 2000 թվականին իր հոր՝ Հայաստանի վաստակավոր մարզիչ Գևորգ Ալեքսանյանի ղեկավարությամբ։ 2007-2010 թվականներին հանդես է եկել պատանեկան առաջնություններում։ 2010 թվականին դարձել է Եվրոպայի արծաթե մեդալակիր և աշխարհի չեմպիոն պատանիների 84 կգ քաշային կարգում։
2011 թվականին Արթուրը տեղափոխվեց ավելի ծանր քաշային կարգ։ Հայաստանի առաջնությունում հաղթելուց հետո նա համալրեց Հայաստանի ազգային հավաքականի շարքերը (2011 թվականին նաև ՀՀ սպորտի վարպետի կոչմանն է արժանացել)։ Նրա մեկնարկային առաջնությունը Դորտմունդում կայացած Եվրոպայի առաջնությունն էր, որտեղ նա հասավ մինչև եզրափակիչ, սակայն պարտվեց բելոռուս Մատվեյ Ձեյնիչենկոյին։ 2012 թվականի Եվրոպայի առաջնությունում նա նվաճեց ոսկե մեդալ։ Այդ առաջնության ընթացքում նա հաղթեց 5 գոտեմարտում՝ մրցակիցներին տալով ընդամենը մեկ միավոր։ Ապա Արթուրը հաղթեց Սոֆիայի լիցենզիոն առաջնությունում և ստացավ Լոնդոնի օլիմպիական խաղերին մասնակցելու իրավունք։ Կիսաեզրափակչում նա պարտվեց ապագա օլիմպիական չեմպիոն Ռեզաի Գասեմին (Իրան), բայց հետագայում, հաղթելով Թուրքիան և Կուբան ներկայացնող մարզիկներին, նվաճեց բրոնզե մեդալ։
Մարզական լրագրողների հանրապետական ֆեդերացիայի հարցմամբ ճանաչվել է Հայաստանի 2014 և 2015 թթ. լավագույն մարզիկ: Նույն թվականին Տաշքենդում կայացած ըմբշամարտի աշխարհի առաջնությունում նվաճել է ոսկե մեդալ։
2015 թվականի ապրիլի 25-ին Բուլղարիայի մայրաքաղաք Սոֆիայում տեղի ունեցած «Դան Կոլով և Նիկոլա Պետրով» ամենամյա միջազգային մրցաշարի 98 կգ քաշային կարգում նվաճել է ոսկե մեդալ: Գրեթե չորս ամիս անց՝ օգոստոսի 8-ին, ԱՄՆ Լաս Վեգաս քաղաքում երկրորդ տարին անընդմեջ հռչակվեց հունահռոմեական ոճի ըմբշամարտի աշխարհի չեմպիոն:
2016 թվականի օգոստոսի 17-ին Բրազիլիայի Ռիո քաղաքում հռչակվեց հունահռոմեական ոճի ըմբշամարտի օլիմպիական չեմպիոն։
